Numeros enteros

Los matemáticos en la antigüedad han logrado observar que con repetición las soluciones a las expresiones algebraicas son números que no hacen parte de ningún conjunto numérico que se conoce. Esto se trata de soluciones negativas. Desde el siglo XVIII, fue común el uso de los números negativos que se incorporaron a los positivos, ampliando así el concepto de número que llamaremos conjunto de los números enteros. Para resolver el problema de contar los elementos de un conjunto, se inventa el conjunto de los números naturales, estos son N=»0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…». 

En nuestras vidas siempre se nos presentan problemas como por ejemplo:

• En el momento en que nos referimos a temperaturas hablamos de los grados sobre 0 o de los grados bajo 0
• Ganancias y pérdidas que tenemos
• También nos referimos al antes de Cristo y después de Cristo
• A los metros sobre el nivel del mar, a los metros bajo el nivel del mar

A parte de esas expresiones hay muchas más, pero éstas nos hacen siempre pensar en números que se encuentran antes que el cero y también nos colocan a pensar en números que van después del cero. Estos números serán los opuestos de los números naturales diferentes al 0, y se le antepone el signo – (menos) Entonces de esta manera el opuesto de 3 es -3, el opuesto de  7 es -7.

1. Números en la recta numérica

En la recta numérica se pueden representar como lo ves en la imagen siguiente:

Z= (…-4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…)

A los números enteros precedidos del signo + (más) se les llama números enteros positivos. A los números enteros precedidos del signo – (menos) se les llama números enteros negativos. El cero no es un número positivo ni negativo.

2. Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero está representado por el valor del número natural que figura en él. Establecemos la siguiente correspondencia entre el conjunto de los números enteros y el de los números naturales.

Z = N

A cada elemento de Z le hacemos corresponder el número de N que resulta al remplazar de su signo:

• -3 —> 3
• -9 —> 9

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de remplazar de su signo.

El valor absoluto de un número se expresa así:

El valor absoluto de -3 es 3: |-3|= 3

El valor absoluto de -9 es 9: |-9|= 9

La definición anterior establece una correspondencia entre el conjunto Z y el conjunto N tal que a dos números enteros que sean opuestos se les hace corresponder el mismo número natural.

 Z= N                       X= |x|

De esta manera, si /X/ es igual a 3, puede ser X =3, o ya sea X= -3

3. Enteros en forma simplificada

La forma simplificada de los números enteros se basa de dos signos, uno que determina si el número es positivo o negativo, y otro que representa un número natural.

•  (+a), (-b), el signo puede ser positivo o negativo y a y b coresponderían al número natural.

1. Suma de números enteros

En el momento en que expresemos los números enteros, en forma simplificada, vamos a tener que diferenciar dos casos:

1. Si los dos números tienen el mismo signo. En estas condiciones, la suma se efectúa del mismo modo que si operara con números naturales, aunque con la singularidad de que se agrega en el resultado el signo de los sumandos:   (+3) + (+4) = (+7), (-1) + (-5) = (-6)
2. Si en este caso los números tienen diferente signo, se restan los dos valores y el resultado se tiene que añadir el signo del número que tenga mayor valor absoluto: (+3) + (-5) = +3 – 5 = -2 

2. Propiedades de la suma

La adición de los números enteros tiene las mismas propiedades que la sume de números naturales. Éstas son:

• Asociativa:  Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento… ejemplo: a + (b + c) = (a + b) + c
• Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado… ejemplo: A + b + c = c + b + a
• Elemento neutro: es el elemento 0 ya que a + 0 = a

Aparte de las anteriores propiedades tiene otra más, que es la de tener un elemento simétrico u opuesto respecto de cualquier número y cumple la siguiente condición: La suma de un número con su simétrico (opuesto) es igual al elemento neutro: a + (-a) = 0

También se puede establecer unas ciertas relaciones entre los números enteros

1. De dos positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto
2. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto
3. El elemento neutro(cero) es menor que cualquier entero positivo y mayor que cualquier entero negativo

3. Producto

Para multiplicar números enteros que estén expresados a través de la forma simplificada se efectúa el producto de los valores como si se tratara de números naturales, y así se incorpora a parte del resultado de la multiplicación de los signos, obtenido según la siguiente regla:

• Si los signos son iguales, el producto es positivo
• Si los signos son distintos, el producto es negativo

4. División

En la división de números enteros se debe de tener en cuenta las siguientes reglas de signos:

• Si tanto el dividendo como el divisor tienen el mismo signo, el cociente es siempre positivo
• Si el dividendo y el divisor tienen distintos signos, el cociente siempre va a ser negativo.

Ejemplos:

(-9) divide a 36 porque existe el entero (-4) tal que (-9). (-4) = 36 ó, de otra manera, 36. (-9)=(-4)

-4 es divisor de -28 ya que existe el entero (+7) tal que (+7) x (-4) = (-28) o de otra manera -28, (-4) = 7

5.