Multiplicación de polinomios y algunos ejemplos

Un polinomio es una expresión matemática de operaciones aritméticas constituida por un conjunto de variables no conocidas y números fijos. Cada término que conforma a un polinomio se conoce como Monomio, también son llamados Binomio y Trinomio los polinomios conformados por 2 y 3 Monomios respectivamente.

La multiplicación de polinomios es una operación que tiene como objetivo encontrar el producto resultante dados 2 o más polinomios. También cumplen con las propiedades aritméticas comunes en números enteros. 

Propiedades de la multiplicación de polinomios

Propiedad Conmutativa:

Dados los polinomios A y B se cumplirá que el orden de los factores no altera el producto, entonces podemos afirmar que

AB = BA

Propiedad Distributiva:

Los factores pueden agruparse de cualquier manera sin afectar al producto, es decir que dado los polinomios A, B y C se cumplirá que

(AB)C = A(BC)

Propiedad de producto de una potencia

Para la multiplicación de potencias de igual base, se debe dejar la misma base y sumar los exponentes. Dadas las potencias A² y B³ se cumplirá que

A²B³ = AB²⁺³ = AB⁵

Regla de los signos:

Dado el producto de 2 factores se cumplirá lo siguiente

• Si ambos factores son positivos el producto será positivo
• Si el primer factor es positivo y el segundo factor es negativo el producto será negativo
• Si el primer factor es negativo y el segundo factor es positivo el producto será negativo
• Si ambos factores son negativos el producto será positivo

Multiplicación de Monomios

Para esta operación debes multiplicar los coeficientes de los monomios y sumar los exponentes de cada variable por individual. 

Ejemplos:

Multiplicación de 2 Monomios con una sola variable:

(3X⁴)(4X³) = 12X⁴⁺³ = 12X⁷

Multiplicación de 3 Monomios con una sola variable:

(3X⁴)(4X³)(2X²) = 24X⁴⁺³⁺² = 24X⁹

Multiplicación de 2 Monomios con más de una variable:

(-6X²Y)(2X²Y⁴) = -12X²⁺²Y¹⁺⁴ = -12X⁴Y⁵

Multiplicación de 3 Monomios con más de una variable:

(-6X²Y)(2X²Y⁴)(XYZ) = -12X²⁺²⁺¹Y¹⁺⁴⁺¹Z¹ = -12X⁵Y⁶Z

Multiplicación de Monomios y Polinomios

Para esta operación debes multiplicar cada uno de los términos del polinomio por el monomio, tomando en cuenta todas las propiedades aritméticas y la regla de los signos. Al final debes sumar todos los productos parciales obtenidos.

Ejemplos: 

Multiplicación de 1 Monomios con un Polinomio de una sola variable:

(2X³)(4X²-5X+3) = 8X³⁺² – 10X³⁺¹ + 6X³ = 8X⁵ – 10X⁴ + 6X³

Multiplicación de 1 Monomios con un Polinomio de más de una variable:

(2X⁴Y)(4X²Y²+XY-1) = 8X⁴⁺²Y¹⁺² + X⁴⁺¹Y¹⁺¹ – 2X⁴Y = 8X⁶Y⁴+ X⁵Y²– 2X⁴Y

Multiplicación de Polinomios

Acá debes multiplicar cada uno de los términos del polinomio por todos los términos del otro polinomio, sin olvidar las propiedades aritméticas y la regla de los signos. Al final debes hacer una suma algebraica de todos los productos parciales obtenidos.

Ejemplos: 

Multiplicación de Polinomios de una sola variable:

(2X³+4X-2)(4X²-5X+3) = 8X³⁺² – 10X³⁺¹ + 6X³ + 16X¹⁺² – 20X¹⁺¹ + 12X – 8X² + 10X – 6

= 8X⁵ – 10X⁴ + 6X³ + 16X³ – 20X² + 12X – 8X² + 10X – 6

= 8X⁵-10X⁴+22X³-28X²+10X-6

Multiplicación de Polinomios de más de una variable:

(2X³Y²+4XY-2)(4X²Y²-5XY²+3Y)

= 8X³⁺²Y²⁺² – 10X³⁺¹Y²⁺² + 6X³Y² + 16X¹⁺²Y¹⁺² – 20X¹⁺¹Y¹⁺²  + 12XY¹⁺¹ – 8X²Y² + 10XY² – 6Y

= 8X⁵Y⁴ – 10X⁴Y⁴ + 6X³Y² + 16X³Y³ – 20X²Y³ + 12XY² – 8X²Y² + 10XY² – 6Y

= 8X⁵Y⁴-10X⁴Y⁴+16X³Y³+6X³Y²-20X²Y³-8X²Y²+22XY²-6Y

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