Ecuaciones cuadráticas

¿Qué son las ecuaciones cuadráticas?

Las ecuaciones cuadráticas son igualdades polinómicas de segundo grado, es decir que el exponente mayor es igual a dos. Tienen la forma de suma algebraica y su función se representa con una parábola.

Se expresa como ax²+bx+c=0 

Analizando esta expresión polinómica deducimos que para cumplir la condición de función, el coeficiente a será distinto de 0, b indicará el coeficiente lineal y c el término independiente. Se denomina cuadrática ya que su exponente mayor es 2(cuadrado). Las variables x son conocidas con el nombre de raíces, que nos indican los puntos de intersección con el eje de abscisas o x, siendo dos puntos dado el gráfico de la función: la parábola.

Cómo resolvemos una ecuación cuadrática

Existen tres métodos de resolución para las ecuaciones cuadráticas:

Factorización

Para factorizar debemos cambiar la ecuación cuadrática por un producto de binomios (dos términos) y posteriormente buscar el valor de la variable x de cada uno.  Las ecuaciones pueden presentarse disfrazadas, para lo cual debemos igualar a cero de forma estándar, buscando la expresión ax²+bx+c=0 y luego realizamos el factoreo.

Fórmula Cuadrática

La fórmula cuadrática nos permite resolver rápidamente la ecuación y se expresa de esta manera

X=-b+-√ b²-4ac

             2a

La expresión dentro de la raíz cuadrada( b²-4ac) se denomina discriminante y es un indicador de los puntos donde la parábola de la función intersecta al eje x.

Cuando el discriminante es mayor a 0, habrá dos soluciones (negativa y positiva) lo que indica que el gráfico corta dos veces el eje de abscisas.

Cuando el discriminante es 0 la solución es una sola, indicando la bisectriz de la parábola, único punto donde intersecará al eje x.

Cuando el discriminante es negativo, las soluciones serán dos números complejos o imaginarios, denotando que el gráfico nunca intersecta al eje x. 

Completar el cuadrado

La condición para utilizar este método para resolver ecuaciones cuadráticas consiste en que la expresión se encuentre en la forma x²+bx+c=0

Esto implica que el valor de la constante a (recordemos la ecuación en su expresión por defecto ax²+bx+c=0) será igual a 1.

Entonces una vez que despejamos en función de a, de manera que obtengamos la expresión mencionada, factorizaremos el cuadrado perfecto. Recuerda que obtendrás dos soluciones posibles, una negativa y otra positiva.

Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas pueden presentarse de diversas formas sin estar expresadas en la fórmula convencional que es ax²+bx+c=0. Veamos cuando esto pasa y lo que deberíamos hacer en función del método de solución más conveniente.

x² = 5x -1

Aquí simplemente realizamos el pasaje de términos y obtenemos:

x² -5x +1=0

También podemos hallar estas ecuaciones de la siguiente manera:

2(x² – 3x) = 9

Para lo cual bastará con desarrollar el paréntesis, multiplicando el 2 por sus elementos y luego pasamos el término independiente.

2x² – 6x- 9=0

Otro ejemplo sería encontrarnos con la variable x como denominador de alguna de las constantes.

9 + 1/x – 1/x² = 0

Podemos multiplicar todos los números por x² y así eliminar los denominadores para obtener la ecuación cuadrática estándar.

9 x² + x – 1 = 0